単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。

ポアンカレ予想（Poincaré conjecture）

これは、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。それ以来約100年に渡り未解決。数々の数学者を数奇な運命に陥れてきた、究極の難題である。しかし、2002年から2003年に掛けてロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはこれを証明したとする複数の論文をarXivに掲載した。これらの論文について2006年の夏頃まで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、現在では彼が実際に証明に成功したと考えられている。ペレルマンはこの業績によって2006年のフィールズ賞を受賞した。フィールズ賞は、数学界のノーベル賞とも言われており、ともすればノーベル賞よりも価値が高いとも言われている。しかし、ペレルマン博士はこの受賞を辞退、失踪してしまう。

そもそも、ポワンカレ予想とは、いったい何なのか。

分かりやすく説明すると、宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形はおおよそ球体（＝ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と言えるのか、という問題である。

ポワンカレ予想はトポロジー（Ｔｏｐｏｌｐｇｙ）の考え方から生まれた。

トポロジーとは、位相幾何学topology）は「やわらかい幾何学」として知られる、比較的新しい幾何学の分野である。ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーやガウスに始まる位相幾何学は高々250年の歴史であり、大きな差がある。オイラーは、いわゆるオイラーの多面体定理において球面に連続的に変形できるような多面体の辺・頂点・面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが、これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である。

古典的な位相幾何学は、図形として取り扱い易い多面体を扱っていたが、20世紀に入り、（微分可能）多様体、ホモトピー、（コ）ホモロジー、ファイバー束等の新しい概念が導入されて、数学の最先端の一部を成している。位相幾何学の基本的な考え方として、連続写像によって変わらないような性質を見出すことがある。例えば、冒頭のコップとドーナツの例では、どちらも一つのつながった図形（連結性）であり、また穴が一つだけ空いている。このような性質は位相不変量と呼ばれる。視点を逆にして、同じ位相不変量をもつ図形が互いに連続的に移りあうか、という問題を考えることもできる。

つまり、トポロジーで重要になってくるのは、穴の数ということだ。穴の大小に関わらず、一つの穴を穴と認識し、カウントする。位相幾何学では、例えばドーナツ（円環）と取っ手のついたコップは同一視される。これはドーナツを「連続的に」変形して取っ手のついたコップにすることができ、その逆もできるからである。コーヒーカップを引っ張ったり縮めたりして連続的に変形させていくと、ドーナツの形へ移し変えができる。こうした連続的な変形はホモトピーと呼ばれる。位相幾何学的には、ホモトピーによって移り変わる二つの図形（コーヒーカップとドーナツなど）は、区別されない。ここで、「連続」という言葉を強調することには意味がある。連続性は、まさしく位相幾何学の存在理由となる概念であるからである。連続性を より厳密に定義するために用いられるのが、近さを測る距離の概念を抽象化した 位相と呼ばれる概念である。